Filtro pasa bajo SINC de ventanas
\(H[f]\) es nuestro filtro. Si le aplicamos la inversa de fourier obtenemos \(h[n]\)
\[
H[f] \rightarrow F^{-1} \rightarrow h[n]
\]
Problemas que se presentan
Al implementar un filtro paso bajo ideal en tiempo discreto, surgen varios problemas que se deben resolver para poder llevarlo a la práctica. A continuación se presentan los problemas y sus soluciones.
🔹 Problema A: Núcleo infinito en el tiempo
Explicación: La respuesta al impulso ideal es un sinc que se extiende de -∞ a +∞, imposible de implementar computacionalmente.
Solución: Truncar la señal a \( M + 1 \) muestras, simétricamente alrededor del lóbulo central.
\[ h[n] = \text{sinc}\left( \frac{2 F_c}{F_s} (n - M/2) \right), \quad n = 0,1,\dots,M \]
🔹 Problema B: Índices positivos en Octave
Explicación: La señal truncada es simétrica y contiene índices negativos, pero Octave requiere índices ≥ 0.
Solución: Desplazar la señal truncada para que comience en el índice 0.
\[ h_\text{shifted}[n] = h[n - n_0], \quad n_0 = M/2 \]
🔹 Problema C: Fenómeno de Gibbs
Explicación: Truncar abruptamente la respuesta al impulso genera ondulaciones no deseadas en la frecuencia (Gibbs).
Solución: Multiplicar la señal por una ventana de Hamming para suavizar los bordes.
\[ h_\text{windowed}[n] = h_\text{shifted}[n] \cdot w[n], \quad n = 0,1,\dots,M \]
🔹 Problema adicional: Ventana modifica amplitudes
Explicación: La ventana altera la ganancia del filtro, por lo que ya no es unitaria en la banda de paso.
Solución: Normalizar la señal dividiendo cada valor por la sumatoria total:
\[ h_\text{normalized}[n] = \frac{h_\text{windowed}[n]}{\sum_{k=0}^{M} h_\text{windowed}[k]} \]
- Truncar la respuesta al impulso infinita.
- Desplazarla a índices positivos.
- Aplicar una ventana de Hamming para evitar Gibbs.
- Normalizar el filtro para corregir la ganancia.
Ventaneo y Ventana de Hamming
Para implementar un filtro paso bajo SINC de manera práctica, es necesario aplicar un ventaneo a la señal y usar una ventana de Hamming para evitar efectos indeseados en frecuencia.
🔹 ¿Por qué se usa el Ventaneo?
Problema: Las señales infinitas en el tiempo no pueden procesarse directamente en sistemas digitales. Solución: Acotarlas en un intervalo finito. Este proceso se llama ventaneo.
🔹 ¿En qué consiste el Ventaneo?
Multiplicar la señal original \( x[n] \) por una función ventana \( w[n] \):
\[ x_\text{ventaneada}[n] = x[n] \cdot w[n] \]
Por ejemplo, una ventana rectangular en tiempo continuo puede definirse como:
\[ w(t) = u(t + 5) - u(t - 5) \]
🔹 Problema del Ventaneo Brusco (Ventana Rectangular)
Discontinuidad: Una ventana rectangular genera un corte abrupto de la señal (de 1 a 0 instantáneamente). Consecuencia: Oscilaciones no deseadas en frecuencia, conocidas como Fenómeno de Gibbs. Estas oscilaciones no forman parte del espectro original.
🔹 Solución: Ventana de Hamming
La ventana de Hamming suaviza los bordes de la señal, evitando cortes abruptos:
\[ x_\text{ventaneada}[n] = x[n] \cdot w_\text{Hamming}[n] \]
Esta transición gradual reduce las oscilaciones en frecuencia, produciendo un espectro más fiel a la señal original.
- Señal original \( x[n] \).
- Multiplicación por ventana \( w[n] \) (ej. Hamming).
- Señal ventaneada \( x_\text{ventaneada}[n] = x[n] \cdot w[n] \).
- Transformada (FFT) aplicada a \( x_\text{ventaneada}[n] \) produce un espectro sin oscilaciones excesivas.